Alaryhmät vs. oikeat alaryhmät
On aivan luonnollista ymmärtää maailma luokittelemalla asiat ryhmiin. Tämä on matemaattisen käsitteen, nimeltään 'Set Theory', perusta. Joukko-teoria kehitettiin 1800-luvun lopulla, ja nyt se on kaikkialla matematiikassa. Lähes koko matematiikka voidaan johtaa käyttämällä joukko-teoriaa perustana. Joukkoteorian soveltaminen vaihtelee abstraktista matematiikasta kaikkiin aineellisen fyysisen maailman aineisiin.
Alajoukko ja Oikea osajoukko ovat kahta terminologiaa, joita käytetään usein joukko-teoriassa joukoiden välisten suhteiden esittelemiseksi.
Jos joukon A jokainen elementti on myös joukon B jäsen, niin joukkoa A kutsutaan B: n osajoukoksi. Tämä voidaan myös lukea "A sisältyy B: hen". Muodollisemmin A on B: n osajoukko, jota merkitään A⊆B: llä, jos x∈A tarkoittaa x∈B: tä.
Mikä tahansa joukko itsessään on saman joukon alajoukko, koska ilmeisesti kaikki joukossa olevat elementit ovat myös samassa joukossa. Sanomme "A on B: n oikea osajoukko", jos, A on B: n osajoukko, mutta A ei ole yhtä suuri kuin B. Merkitäkseen, että A on B: n oikea alaryhmä, käytämme merkintää A⊂B. Esimerkiksi joukossa {1,2} on 4 osajoukkoa, mutta vain 3 oikeaa osajoukkoa. Koska {1,2} on osajoukko, mutta ei oikea osajoukko {1,2}.
Jos joukko on toisen joukon oikea osajoukko, se on aina kyseisen joukon osajoukko (eli jos A on B: n oikea osajoukko, se tarkoittaa, että A on B: n osajoukko). Mutta voi olla osajoukkoja, jotka eivät ole niiden alajoukon oikeat osajoukot. Jos kaksi joukkoa ovat yhtä suuret, ne ovat toistensa osajoukkoja, mutta eivät oikeaa osajoukkoa toisilleen.
Lyhyesti:
- Jos A on B: n osajoukko, A ja B voivat olla yhtä suuret.
- Jos A on B: n oikea osajoukko, A ei voi olla yhtä suuri kuin B.
