Fourier-sarja vs Fourier Transform
Fourier-sarja hajottaa jaksollisen funktion eri taajuuksilla ja amplitudilla toimivien sini- ja kosiniusien summaksi. Fourier-sarja on Fourier-analyysin haara, ja sen esitteli Joseph Fourier. Fourier-muunnos on matemaattinen operaatio, joka katkaisee signaalin sen perustaajuuksille. Ajan myötä muuttunutta alkuperäistä signaalia kutsutaan signaalin aikatason esitykseksi. Fourier-muunnosta kutsutaan signaalin taajuusalueen edustukseksi, koska se riippuu taajuudesta. Sekä signaalin taajuusalueen edustusta että prosessia, jota käytetään tämän signaalin muuntamiseen taajuusalueeseen, kutsutaan Fourier-muunnokseksi.
Mikä on Fourier-sarja?
Kuten aiemmin mainittiin, Fourier-sarja on jaksollisen funktion laajennus, joka käyttää sinien ja kosinien ääretöntä summaa. Fourier-sarja kehitettiin alun perin ratkaisemalla lämpöyhtälöitä, mutta myöhemmin todettiin, että samaa tekniikkaa voidaan käyttää ratkaisemaan suuri joukko matemaattisia ongelmia, erityisesti ongelmat, joihin liittyy lineaarisia differentiaaliyhtälöitä vakiokertoimilla. Fourier-sarjassa on nyt sovelluksia monilla aloilla, mukaan lukien sähkötekniikka, tärinäanalyysi, akustiikka, optiikka, signaalinkäsittely, kuvankäsittely, kvanttimekaniikka ja ekonometria. Fourier-sarjat käyttävät sini- ja kosinifunktioiden ortogonaalisuussuhteita. Fourier-sarjan laskenta ja tutkimus tunnetaan harmonisena analyysinä ja on erittäin hyödyllinen työskenneltäessä mielivaltaisten jaksollisten toimintojen kanssa,koska se antaa mahdollisuuden erottaa funktio yksinkertaisilla termeillä, joita voidaan käyttää ratkaisun löytämiseen alkuperäiseen ongelmaan.
Mikä on Fourier-muunnos?
Fourier-muunnos määrittelee suhteen aika-alueella olevan signaalin ja sen esityksen välillä taajuusalueella. Fourier-muunnos hajottaa funktion värähtelyfunktioksi. Koska tämä on muunnos, alkuperäinen signaali voidaan saada muunnoksen tuntemisesta, joten prosessissa ei luoda tai menetetä tietoa. Fourier-sarjan tutkimus tarjoaa todellakin motivaation Fourier-muunnokselle. Sinusten ja kosinien ominaisuuksista johtuen on mahdollista palauttaa kunkin aallon osuus summaan integraalin avulla. Fourier-muunnoksella on joitain perusominaisuuksia, kuten lineaarisuus, translaatio, modulointi, skaalaus, konjugaatio, kaksinaisuus ja konvoluutio. Fourier-muunnosta sovelletaan differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen, koska Fourier-muunnos liittyy läheisesti Laplace-muunnokseen. Fourier-muunnosta käytetään myös ydinmagneettisessa resonanssissa (NMR) ja muussa spektroskopiassa.
Ero Fourier-sarjan ja Fourier-muunnoksen välillä
Fourier-sarja on jaksollisen signaalin laajeneminen sinien ja kosinien lineaarisena yhdistelmänä, kun taas Fourier-muunnos on prosessi tai toiminto, jota käytetään signaalien muuntamiseen aikatasosta taajuusalueeseen. Fourier-sarja määritellään jaksollisille signaaleille, ja Fourier-muunnosta voidaan soveltaa aperiodisiin (esiintyy ilman jaksollisuutta) signaaleihin. Kuten edellä mainittiin, Fourier-sarjan tutkimus todella motivoi Fourier-muunnosta.
