Todennäköisyysjakauman funktio vs. todennäköisyystiheysfunktio
Todennäköisyys on tapahtuman todennäköisyys. Tämä ajatus on hyvin yleinen, ja sitä käytetään usein jokapäiväisessä elämässä, kun arvioimme mahdollisuuksiamme, tapahtumiamme ja monia muita asioita. Tämän yksinkertaisen konseptin laajentaminen suurempiin tapahtumiin on hieman haastavampaa. Esimerkiksi emme voi helposti selvittää mahdollisuuksia voittaa arpajaisia, mutta on kätevää, melko intuitiivista, sanoa, että on todennäköistä, että yksi kuudesta, että saamme numeron kuusi heitetyssä noppaa.
Kun tapahtumien määrä voi kasvaa tai yksittäisten mahdollisuuksien määrä on suuri, tämä melko yksinkertainen ajatus todennäköisyydestä epäonnistuu. Siksi sille on annettava vankka matemaattinen määritelmä, ennen kuin lähestytään monimutkaisempia ongelmia.
Kun yksittäisessä tilanteessa voi tapahtua paljon tapahtumia, on mahdotonta pitää kutakin tapahtumaa erikseen kuten heitetyn noppan esimerkissä. Siksi koko tapahtumasarja esitetään yhteenvetona ottamalla käyttöön satunnaismuuttujan käsite. Se on muuttuja, joka voi olettaa eri tapahtumien arvot kyseisessä tilanteessa (tai näytetilassa). Se antaa matemaattisen mielen tilanteiden yksinkertaisille tapahtumille ja matemaattisen tavan käsitellä tapahtumaa. Tarkemmin sanottuna satunnaismuuttuja on todellisen arvon funktio näytetilan alkioiden yli. Satunnaismuuttujat voivat olla joko erillisiä tai jatkuvia. Ne on yleensä merkitty englannin aakkosien isoilla kirjaimilla.
Todennäköisyysjakautumistoiminto (tai yksinkertaisesti todennäköisyysjakauma) on funktio, joka määrittää todennäköisyysarvot jokaiselle tapahtumalle; Toisin sanoen se tarjoaa suhteen arvojen todennäköisyyksiin, jotka satunnaismuuttuja voi ottaa. Todennäköisyysjakaumafunktio on määritelty erillisille satunnaismuuttujille.
Todennäköisyystiheysfunktio on yhtä suuri kuin jatkuvuuden satunnaismuuttujien todennäköisyysjakautumisfunktio, antaa todennäköisyyden tietylle satunnaismuuttujalle tietyn arvon saamiseksi.
Jos X on erillinen satunnaismuuttuja, funktiota, joka annetaan muodossa f (x) = P (X = x) kullekin X: lle X: n alueella, kutsutaan todennäköisyysjakautumistoiminnoksi. Funktio voi toimia todennäköisyysjakauman funktiona vain ja vain, jos funktio täyttää seuraavat ehdot.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
Reaalilukujoukolle määriteltyä funktiota f (x) kutsutaan jatkuvan satunnaismuuttujan X todennäköisyystiheysfunktioksi vain ja vain,
P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx todellisille vakioille a ja b.
Todennäköisyystiheysfunktion tulisi myös täyttää seuraavat ehdot.
1. f (x) ≥ 0 kaikille x: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
Sekä todennäköisyysjakautumisfunktiota että todennäköisyystiheysfunktiota käytetään edustamaan todennäköisyyksien jakaumaa näytetilassa. Yleensä näitä kutsutaan todennäköisyysjakaumiksi.
Tilastollista mallinnusta varten johdetaan vakiotodennäköisyystiheysfunktiot ja todennäköisyysjakaumatoiminnot. Normaalijakauma ja normaali normaalijakauma ovat esimerkkejä jatkuvista todennäköisyysjakaumista. Binomijakauma ja Poisson-jakauma ovat esimerkkejä erillisistä todennäköisyysjakaumista.
Mitä eroa on todennäköisyysjakauman ja todennäköisyystiheysfunktion välillä?
• Todennäköisyysjakautumistoiminto ja todennäköisyystiheysfunktio ovat funktioita, jotka on määritelty näytetilassa, jotta kullekin elementille voidaan määrittää asianmukainen todennäköisyysarvo.
• Todennäköisyysjakaumatoiminnot on määritelty erillisille satunnaismuuttujille, kun taas todennäköisyystiheysfunktiot on määritelty jatkuville satunnaismuuttujille.
• Todennäköisyysarvojen (eli todennäköisyysjakaumien) jakauma kuvataan parhaiten todennäköisyystiheysfunktiolla ja todennäköisyysjakautumisfunktiolla.
• Todennäköisyysjakaumafunktio voidaan esittää taulukoissa arvona, mutta se ei ole mahdollista todennäköisyystiheysfunktiolle, koska muuttuja on jatkuva.
• Piirrettyinä todennäköisyysjakautumistoiminto antaa pylväsdiagrammin, kun taas todennäköisyystiheysfunktio antaa käyrän.
• Todennäköisyysjakautumisfunktion pylväiden korkeuden / pituuden on lisättävä arvoon 1, kun taas todennäköisyystiheysfunktion käyrän alla olevan alueen on lisättävä arvoon 1.
• Molemmissa tapauksissa funktion kaikkien arvojen on oltava ei-negatiivisia.
