Satunnaiset muuttujat vs. todennäköisyysjakauma
Tilastolliset kokeet ovat satunnaisia kokeita, jotka voidaan toistaa loputtomasti tunnettujen tulosjoukkojen kanssa. Sekä satunnaismuuttujat että todennäköisyysjakaumat liittyvät tällaisiin kokeisiin. Jokaiselle satunnaismuuttujalle on liitetty todennäköisyysjakauma, jonka määrittelee funktio, jota kutsutaan kumulatiiviseksi jakautumistoiminnoksi.
Mikä on satunnaismuuttuja?
Satunnaismuuttuja on funktio, joka määrittää numeeriset arvot tilastollisen kokeen tuloksille. Toisin sanoen se on funktio, joka määritetään tilastollisen kokeen näytetilasta reaalilukujoukkoon.
Harkitse esimerkiksi satunnaista kokeilua kolikon kääntämisestä kahdesti. Mahdolliset tulokset ovat HH, HT, TH ja TT (H-päät, T-tarinat). Olkoon muuttuja X kokeessa havaittujen päiden lukumäärä. Sitten X voi ottaa arvot 0, 1 tai 2, ja se on satunnaismuuttuja. Tässä satunnaismuuttuja X kartoittaa joukon S = {HH, HT, TH, TT} (näytetila) joukkoon {0, 1, 2} siten, että HH kartoitetaan arvoon 2, HT ja TH funktiomerkinnöissä tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti: X: S → R jossa X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 ja X (TT) = 0.
Satunnaismuuttujia on kahta tyyppiä: diskreetti ja jatkuva, joten niiden arvojen määrä, jotka satunnaismuuttuja voi olettaa, on korkeintaan laskettavissa tai ei. Edellisessä esimerkissä satunnaismuuttuja X on erillinen satunnaismuuttuja, koska {0, 1, 2} on äärellinen joukko. Harkitse nyt tilastollista kokeilua oppilaiden painojen löytämiseksi luokassa. Olkoon Y satunnaismuuttuja, joka määritellään opiskelijan painona. Y voi ottaa minkä tahansa todellisen arvon tietyllä aikavälillä. Siksi Y on jatkuva satunnaismuuttuja.
Mikä on todennäköisyysjakauma?
Todennäköisyysjakauma on funktio, joka kuvaa satunnaismuuttujan todennäköisyyttä ottaa tiettyjä arvoja.
Funktio, jota kutsutaan kumulatiiviseksi jakautumisfunktioksi (F), voidaan määrittää reaalilukujoukosta reaalilukujoukkoon seuraavasti: F (x) = P (X ≤ x) (todennäköisyys, että X on pienempi tai yhtä suuri kuin x) kukin mahdollinen tulos x. Nyt X: n kumulatiivinen jakautumistoiminto ensimmäisessä esimerkissä voidaan kirjoittaa muodossa F (a) = 0, jos a <0; F (a) = 0,25, jos 0≤a <1; F (a) = 0,75, jos 1≤a <2 ja F (a) = 1, jos a ≥2.
Diskreettien satunnaismuuttujien tapauksessa funktio voidaan määrittää mahdollisten lopputulosten joukosta reaalilukujoukkoon siten, että ƒ (x) = P (X = x) (todennäköisyys, että X on yhtä suuri kuin x) jokaiselle mahdolliselle tulokselle x. Tätä erityistä funktiota ƒ kutsutaan satunnaismuuttujan X todennäköisyysmassafunktioksi. Nyt X: n todennäköisyysmassafunktio voidaan kirjoittaa ensimmäisessä esimerkissä muodossa example (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 ja ƒ (x) = 0 muuten. Täten todennäköisyysmassafunktio yhdessä kumulatiivisen jakautumisfunktion kanssa kuvaa X: n todennäköisyysjakauman ensimmäisessä esimerkissä.
Jatkuvien satunnaismuuttujien tapauksessa toiminto, jota kutsutaan todennäköisyystiheysfunktioksi (ƒ), voidaan määritellä muodossa ƒ (x) = dF (x) / dx jokaiselle x: lle, missä F on jatkuvan satunnaismuuttujan kumulatiivinen jakautumistoiminto. On helppo nähdä, että tämä funktio täyttää ∫ƒ (x) dx = 1. Todennäköisyystiheysfunktio yhdessä kumulatiivisen jakautumistoiminnon kanssa kuvaa jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumaa. Esimerkiksi normaalijakauma (joka on jatkuva todennäköisyysjakauma) kuvataan käyttämällä todennäköisyystiheysfunktiota ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)).
Mikä on ero satunnaismuuttujien ja todennäköisyysjakauman välillä?
• Satunnaismuuttuja on funktio, joka yhdistää näytetilan arvot reaalilukuun.
• Todennäköisyysjakauma on funktio, joka yhdistää arvot, jotka satunnaismuuttuja voi ottaa, vastaavaan esiintymistodennäköisyyteen.
