Populaatio vs. keskihajonnan näyte
Tilastoissa käytetään useita indeksejä kuvaamaan tietojoukkoa, joka vastaa sen keskeistä taipumusta, leviämistä ja vinoutta. Keskihajonta on yksi yleisimmistä mittausmenetelmistä tietojen hajottamiseksi tietojoukon keskustasta.
Käytännön vaikeuksien vuoksi koko väestön tietoja ei voida käyttää hyväksi, kun hypoteesi testataan. Siksi käytämme näytteistä saatuja arvoja tekemään johtopäätöksiä populaatiosta. Tällaisessa tilanteessa näitä kutsutaan estimaattoreiksi, koska ne arvioivat populaatioparametrien arvot.
On äärimmäisen tärkeää käyttää päättelemättä puolueettomia arvioita. Estimaattorin sanotaan olevan puolueeton, jos estimaattorin odotettu arvo on yhtä suuri kuin populaatioparametri. Esimerkiksi käytämme otoskeskiarvoa puolueettomana estimaattorina populaation keskiarvolle. (Matemaattisesti voidaan osoittaa, että otoksen keskiarvon odotettu arvo on yhtä suuri kuin populaation keskiarvo). Populaation keskihajonnan estimoinnissa myös otoksen keskihajonta on puolueeton estimaattori.
Mikä on populaation keskihajonta?
Kun koko väestön tiedot voidaan ottaa huomioon (esimerkiksi väestönlaskennan tapauksessa), on mahdollista laskea väestön keskihajonta. Populaation keskihajonnan laskemiseksi ensin lasketaan data-arvojen poikkeamat populaation keskiarvosta. Poikkeamien neliökeskiarvoa (neliöllistä keskiarvoa) kutsutaan populaation keskihajonnaksi.
10 oppilaan luokassa voi helposti kerätä tietoja opiskelijoista. Jos hypoteesi testataan tällä opiskelijajoukolla, näytearvoja ei tarvitse käyttää. Esimerkiksi 10 opiskelijan painoksi (kilogrammoina) mitataan 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 ja 79. Sitten kymmenen ihmisen keskipaino (kilogrammoina) on (70 + 62 + 65 + 72 + 80 + 70 + 63 + 72 + 77 + 79) / 10, mikä on 71 (kilogrammoina). Tämä on väestön keskiarvo.
Laske nyt populaation keskihajonta laskemalla poikkeamat keskiarvosta. Vastaavat poikkeamat keskiarvosta ovat (70-71) = -1, (62-71) = -9, (65-71) = -6, (72-71) = 1, (80-71) = 9, (70-71) = -1, (63-71) = -8, (72-71) = 1, (77-71) = 6 ja (79-71) = 8. Poikkeaman neliöiden summa on (-1) 2 + (-9) 2 + (-6) 2 + 1 2 + 9 2 + (-1) 2 + (-8) 2 + 1 2 + 6 2 + 8 2 = 366. Populaation keskihajonta on √ (366/10) = 6,05 (kilogrammoina). 71 on luokan oppilaiden tarkka keskipaino ja 6,05 on painon tarkka keskihajonta 71: stä.
Mikä on näytteen keskihajonta?
Kun näytteen (koon n) tietoja käytetään populaation parametrien arvioimiseksi, lasketaan otoksen keskihajonta. Ensin lasketaan data-arvojen poikkeamat näytekeskiarvosta. Koska populaatiokeskiarvon sijasta käytetään otoskeskiarvoa (joka ei ole tiedossa), neliön keskiarvon ottaminen ei ole asianmukaista. Näytekeskiarvojen käytön kompensoimiseksi poikkeamien neliöiden summa jaetaan luvulla (n-1) n: n sijasta. Näyte keskihajonta on tämän neliöjuuri. Matemaattisia symboleja, S = √ {Σ (x i -x) 2 / (n-1)}, missä S on näytteen keskihajonta, X on näytteen keskiarvo ja x i n ovat datapisteet.
Oletetaan nyt, että edellisessä esimerkissä väestö on koko koulun opiskelijoita. Sitten luokka on vain näyte. Jos tätä otosta käytetään arvioinnissa, otoksen keskihajonta on √ (366/9) = 6,38 (kilogrammoina), koska 366 jaettiin 9: llä 10: n (otoksen koko) sijaan. Huomattavaa on, että tämän ei voida taata olevan tarkka populaation keskihajonta-arvo. Se on vain arvio sille.
Mitä eroa on populaation keskihajonnan ja otoksen keskihajonnan välillä?
• Populaation keskihajonta on tarkka parametriarvo, jota käytetään mittaamaan dispersio keskeltä, kun taas otoksen keskihajonta on puolueeton estimaattori sille.
• Populaation keskihajonta lasketaan, kun kaikki populaatiokohtaiset tiedot ovat tiedossa. Muutoin lasketaan näytteen keskihajonta.
• Populaation keskihajonta lasketaan seuraavasti: σ = √ {∑ (xi-µ) 2 / n}, jossa µ on populaation keskiarvo ja n on populaation koko, mutta otoksen keskihajonta saadaan S = √ {∑ (xi-ẍ) 2 / (n-1)} missä ẍ on otoksen keskiarvo ja n on otoksen koko.
