Diskreetti toiminto vs. jatkuva toiminto
Funktiot ovat yksi tärkeimmistä matemaattisten esineiden luokista, joita käytetään laajasti melkein kaikilla matematiikan osa-alueilla. Koska heidän nimensä viittaavat sekä erillisiin toimintoihin että jatkuviin toimintoihin, on kaksi erityistyyppistä toimintoa.
Funktio on suhde kahden joukon välillä, jotka on määritelty siten, että kullekin ensimmäisen joukon elementille toinen sarjassa sitä vastaava arvo on ainutlaatuinen. Olkoon f funktio, joka määritetään joukosta A joukoksi B. Sitten jokaiselle x ϵ A: lle symboli f (x) merkitsee joukon B ainutkertaista arvoa, joka vastaa x: tä. Sitä kutsutaan x: n kuvaksi f: n alla. Siksi suhde f A: sta B: ksi on funktio, jos vain ja vain, kukin xϵA ja yϵ yA; jos x = y, niin f (x) = f (y). Joukkoa A kutsutaan funktion f alueeksi, ja se on joukko, jossa funktio on määritelty.
Tarkastellaan esimerkiksi suhdetta f R: stä R: ään, jonka määrittelee f (x) = x + 2 kullekin xϵA: lle. Tämä on funktio, jonka toimialue on R, kuten jokaiselle reaaliluvulle x ja y, x = y tarkoittaa f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y). Mutta suhde g N: stä N: ään, jonka määrittää g (x) = a, jossa 'a' on x: n alkutekijät, ei ole funktio kuten g (6) = 3, eikä g (6) = 2.
Mikä on erillinen toiminto?
Diskreetti toiminto on toiminto, jonka toimialue on enintään laskettavissa. Yksinkertaisesti tämä tarkoittaa, että on mahdollista tehdä luettelo, joka sisältää kaikki toimialueen elementit.
Mikä tahansa äärellinen sarja on enintään laskettavissa. Luonnollisten lukujen joukko ja rationaalilukujen joukko ovat esimerkkejä korkeintaan laskettavista äärettömistä joukoista. Reaalilukujoukkoa ja irrationaalilukujoukkoa ei ole korkeintaan laskettavissa. Molemmat sarjat ovat laskemattomia. Se tarkoittaa, että on mahdotonta laatia luetteloa, joka sisältää näiden sarjojen kaikki elementit.
Yksi yleisimmistä erillisistä funktioista on faktoriaalifunktio. f: NU {0} → N rekursiivisesti määritettynä f (n) = nf (n-1) kullekin n ≥ 1: lle ja f (0) = 1 kutsutaan faktorialliseksi funktioksi. Huomaa, että sen verkkotunnus NU {0} on korkeintaan laskettavissa.
Mikä on jatkuva toiminto?
Olkoon f sellainen funktio, että jokaiselle f: n alueella olevalle k: lle f (x) → f (k) x → k: ksi. Tällöin f on jatkuva funktio. Tämä tarkoittaa, että on mahdollista tehdä f (x) mielivaltaisesti lähelle f (k) tekemällä x riittävän lähelle k: ta kullekin f: n k-alueella olevalle k: lle.
Tarkastellaan funktiota f (x) = x + 2, R. Siksi f on jatkuva funktio. Tarkastellaan nyt positiivisten reaalilukujen g: tä g (x) = 1, jos x> 0, ja g (x) = 0, jos x = 0. Silloin tämä funktio ei ole jatkuva funktio, koska g: n (x) rajaa ei ole (ja siten se ei ole yhtä suuri kuin g (0)) kuin x → 0.
Mitä eroa on erillisellä ja jatkuvalla toiminnalla?
• Diskreetti funktio on toiminto, jonka toimialue on enintään laskettavissa, mutta sen ei tarvitse olla jatkuvissa funktioissa.
• Kaikilla jatkuvilla funktioilla ƒ on ominaisuus, joka ƒ (x) → ƒ (k) on x → k kullekin x: lle ja jokaiselle k: lle ƒ: n alueella, mutta näin ei ole joissakin erillisissä funktioissa.
