Alajoukko vs Superset
Matematiikassa joukon käsite on perustavanlaatuinen. Moderni joukko-teorian tutkimus virallistettiin 1800-luvun lopulla. Joukko-teoria on matematiikan peruskieli ja modernin matematiikan perusperiaatteiden arkisto. Toisaalta se on matematiikan haara omissa oikeuksissaan, joka on luokiteltu matemaattisen logiikan haaraksi nykyaikaisessa matematiikassa.
Joukko on hyvin määritelty kokoelma esineitä. Hyvin määritelty tarkoittaa, että on olemassa mekanismi, jolla voidaan määrittää, kuuluuko tietty esine tiettyyn joukkoon vai ei. Joukkoon kuuluvia objekteja kutsutaan joukon elementeiksi tai jäseniksi. Sarjat on yleensä merkitty isoilla kirjaimilla ja pieniä kirjaimia käytetään elementtien esittämiseen.
Joukon A sanotaan olevan joukko B: n osajoukko; jos ja vain, jos joukko A: n jokainen elementti on myös joukon B elementti. Tällainen joukko-osuuksien välinen suhde on merkitty A: lla B. Se voidaan lukea myös nimellä 'A sisältyy B: hen'. Joukon A sanotaan olevan oikea osajoukko, jos A ⊆ B ja A ≠ B, ja sitä merkitään A ⊂ B. Jos A: ssa on jopa yksi jäsen, joka ei ole B: n jäsen, A ei voi olla B: n osajoukko Tyhjä joukko on minkä tahansa joukon osajoukko, ja itse joukko on saman joukon osajoukko.
Jos A on B: n osajoukko, niin A sisältyy B: hen. Se tarkoittaa, että B sisältää A: n tai toisin sanoen B on A: n superset. Kirjoitamme A ⊇ B tarkoittamaan, että B on A: n superset.
Esimerkiksi A = {1, 3} on osajoukko B = {1, 2, 3}, koska kaikki B: n sisältämät A: n elementit ovat B: n supersarja, koska B sisältää A: n. Olkoon A = {1, 2, 3} ja B = {3, 4, 5}. Sitten A∩B = {3}. Siksi sekä A että B ovat A∩B: n supersetit. Joukko A∪B on sekä A: n että B: n supersarja, koska A∪B sisältää kaikki A: n ja B: n elementit.
Jos A on B: n supersarja ja B on C: n supersarja, niin A on C: n superset. Mikä tahansa joukko A on tyhjän joukon supersarja ja mikä tahansa joukko itsensä kyseisen ryhmän superset.
'A on B: n osajoukko' luetaan myös nimellä 'A sisältyy B: hen', jota merkitään A ⊆ B: llä.
'B on A: n supersarja' luetaan myös nimellä 'B sisältää A: ssa', jota merkitään A ⊇ B: llä.
