Power-sarja vs Taylor-sarja
Matematiikassa todellinen sekvenssi on järjestetty luettelo reaaliluvuista. Muodollisesti se on funktio luonnollisten numeroiden joukosta reaalilukuihin. Jos n on n : nnen aikavälin sekvenssin, me merkitsevät sekvenssin tai jonka 1, joka on 2, …, joka on n, …. Esimerkiksi harkita sekvenssi 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. Se voidaan merkitä nimellä {1 / n}.
Sarja on mahdollista määrittää sekvenssien avulla. Sarja on sekvenssin ehtojen summa. Siksi jokaiselle sekvenssille on liitetty sekvenssi ja päinvastoin. Jos {a n} on tarkasteltava sekvenssi, niin kyseisen sekvenssin muodostama sarja voidaan esittää seuraavasti:
Näin ollen, yllä olevassa esimerkissä, siihen liittyvä sarja on 1+ 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n + ….
Kuten nimistä voi päätellä, tehosarja on erityinen sarjasarja, ja sitä käytetään laajasti numeerisessa analyysissä ja siihen liittyvässä matemaattisessa mallinnuksessa. Taylor-sarja on erityinen tehosarja, joka tarjoaa vaihtoehtoisen ja helposti manipuloitavan tavan edustaa tunnettuja toimintoja.
Mikä on Power-sarja?
Tehosarja on sarjan muoto
joka on konvergentti (mahdollisesti) jollekin aikavälille, jonka keskipiste on c: ssä. Kertoimet a n voivat olla reaalilukuja tai kompleksilukuja, ja ne ovat riippumattomia x: stä; ts. nuken muuttuja.
Esimerkiksi asettamalla a n = 1 kullekin n ja c = 0, saadaan tehosarja 1 + x + x 2 +….. + x n +…. On helppo havaita, että kun x ε (-1,1), tämä tehosarja lähenee arvoon 1 / (1-x).
Tehosarja lähentyy, kun x = c. Muut x: n arvot, joille tehosarja lähenee, ovat aina avoimen aikavälin muodossa, jonka keskipiste on c. Eli tulee arvo 0≤ R <siten, että kullekin x: lle, joka tyydyttää | xc | ≤ R, tehosarja on konvergentti ja kullekin x: lle, joka tyydyttää | xc |> R, tehosarja on erilainen. Tätä arvoa R kutsutaan tehosarjojen lähentymissädeksi (R voi ottaa minkä tahansa todellisen arvon tai positiivisen äärettömyyden).
Tehosarjat voidaan lisätä, vähentää, kertoa ja jakaa seuraavien sääntöjen avulla. Harkitse kahta tehosarjaa:
Sitten,
ts. samanlaiset termit lisätään tai vähennetään yhdessä. Lisäksi on mahdollista kertoa ja jakaa kaksi tehosarjaa identiteetin,
Mikä on Taylor-sarja?
Taylor-sarja määritellään funktiolle f (x), joka on äärettömän erilainen tietyllä aikavälillä. Oletetaan, että f (x) on erilaistettavissa aikavälillä, jonka keskipiste on c. Sitten tehosarja, jonka antaa
kutsutaan funktion f (x) Taylor-sarjan laajennukseksi noin c. (Tässä f (n) (c) merkitsee n : tä johdannaista kohdassa x = c). Numeerisessa analyysissä tämän rajattoman laajennuksen rajallista määrää termejä käytetään laskettaessa arvoja pisteissä, joissa sarja on lähentynyt alkuperäistä funktiota.
Funktion f (x) sanotaan olevan analyyttinen aikavälillä (a, b), jos kullekin x ε (a, b) Taylor-sarja f (x) yhtyy funktioon f (x). Esimerkiksi 1 / (1-x) on analyyttinen kohdassa (-1,1), koska sen Taylorin laajeneminen 1 + x + x 2 +….. + x n +… lähentyy funktioon tällä aikavälillä ja e x on analyyttinen kaikkialla, koska Taylorin e x -sarja yhtyy e x: ään jokaiselle reaaliluvulle x.
Mikä on ero Power-sarjan ja Taylor-sarjan välillä?
1. Taylor-sarja on erityinen tehosarjojen luokka, joka on määritelty vain toiminnoille, jotka ovat äärettömän eriteltäviä jollakin avoimella aikavälillä.
2. Taylor-sarjat ovat erityisessä muodossa
kun taas tehosarja voi olla mikä tahansa muodon sarja
