Ero Power-sarjan Ja Taylor-sarjan Välillä

2024 Kirjoittaja: Mildred Bawerman | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-09 22:10

Power-sarja vs Taylor-sarja

Matematiikassa todellinen sekvenssi on järjestetty luettelo reaaliluvuista. Muodollisesti se on funktio luonnollisten numeroiden joukosta reaalilukuihin. Jos _n on n ^{: nnen} aikavälin sekvenssin, me merkitsevät sekvenssin tai jonka ₁, joka on ₂, …, joka on _n, …. Esimerkiksi harkita sekvenssi 1, ½, ⅓, …, ¹ / _n, …. Se voidaan merkitä nimellä {1 / n}.

Sarja on mahdollista määrittää sekvenssien avulla. Sarja on sekvenssin ehtojen summa. Siksi jokaiselle sekvenssille on liitetty sekvenssi ja päinvastoin. Jos {a _n} on tarkasteltava sekvenssi, niin kyseisen sekvenssin muodostama sarja voidaan esittää seuraavasti:

Näin ollen, yllä olevassa esimerkissä, siihen liittyvä sarja on 1+ ¹ / ₂ + ¹ / ₃ + … + ¹ / _n + ….

Kuten nimistä voi päätellä, tehosarja on erityinen sarjasarja, ja sitä käytetään laajasti numeerisessa analyysissä ja siihen liittyvässä matemaattisessa mallinnuksessa. Taylor-sarja on erityinen tehosarja, joka tarjoaa vaihtoehtoisen ja helposti manipuloitavan tavan edustaa tunnettuja toimintoja.

Mikä on Power-sarja?

Tehosarja on sarjan muoto

joka on konvergentti (mahdollisesti) jollekin aikavälille, jonka keskipiste on c: ssä. Kertoimet a _n voivat olla reaalilukuja tai kompleksilukuja, ja ne ovat riippumattomia x: stä; ts. nuken muuttuja.

Esimerkiksi asettamalla a _n = 1 kullekin n ja c = 0, saadaan tehosarja 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +…. On helppo havaita, että kun x ε (-1,1), tämä tehosarja lähenee arvoon 1 / (1-x).

Tehosarja lähentyy, kun x = c. Muut x: n arvot, joille tehosarja lähenee, ovat aina avoimen aikavälin muodossa, jonka keskipiste on c. Eli tulee arvo 0≤ R <siten, että kullekin x: lle, joka tyydyttää | xc | ≤ R, tehosarja on konvergentti ja kullekin x: lle, joka tyydyttää | xc |> R, tehosarja on erilainen. Tätä arvoa R kutsutaan tehosarjojen lähentymissädeksi (R voi ottaa minkä tahansa todellisen arvon tai positiivisen äärettömyyden).

Tehosarjat voidaan lisätä, vähentää, kertoa ja jakaa seuraavien sääntöjen avulla. Harkitse kahta tehosarjaa:

Sitten,

ts. samanlaiset termit lisätään tai vähennetään yhdessä. Lisäksi on mahdollista kertoa ja jakaa kaksi tehosarjaa identiteetin,

Mikä on Taylor-sarja?

Taylor-sarja määritellään funktiolle f (x), joka on äärettömän erilainen tietyllä aikavälillä. Oletetaan, että f (x) on erilaistettavissa aikavälillä, jonka keskipiste on c. Sitten tehosarja, jonka antaa

kutsutaan funktion f (x) Taylor-sarjan laajennukseksi noin c. (Tässä f ⁽ⁿ⁾ (c) merkitsee n ^{: tä} johdannaista kohdassa x = c). Numeerisessa analyysissä tämän rajattoman laajennuksen rajallista määrää termejä käytetään laskettaessa arvoja pisteissä, joissa sarja on lähentynyt alkuperäistä funktiota.

Funktion f (x) sanotaan olevan analyyttinen aikavälillä (a, b), jos kullekin x ε (a, b) Taylor-sarja f (x) yhtyy funktioon f (x). Esimerkiksi 1 / (1-x) on analyyttinen kohdassa (-1,1), koska sen Taylorin laajeneminen 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +… lähentyy funktioon tällä aikavälillä ja e ^x on analyyttinen kaikkialla, koska Taylorin e ^x -sarja yhtyy e ^x: ään jokaiselle reaaliluvulle x.

Mikä on ero Power-sarjan ja Taylor-sarjan välillä?

1. Taylor-sarja on erityinen tehosarjojen luokka, joka on määritelty vain toiminnoille, jotka ovat äärettömän eriteltäviä jollakin avoimella aikavälillä.

2. Taylor-sarjat ovat erityisessä muodossa

kun taas tehosarja voi olla mikä tahansa muodon sarja