Logaritminen vs eksponentiaalinen | Eksponentiaalifunktio vs. logaritmifunktio
Funktiot ovat yksi tärkeimmistä matemaattisten esineiden luokista, joita käytetään laajasti melkein kaikilla matematiikan osa-alueilla. Koska heidän nimensä viittaavat sekä eksponentiaalifunktioon että logaritmifunktioon, on kaksi erikoistoimintoa.
Funktio on suhde kahden joukon välillä, jotka on määritelty siten, että jokaisen ensimmäisen joukon elementille arvo, joka vastaa sitä toisessa joukossa, on ainutlaatuinen. Olkoon ƒ funktio, joka määritetään joukosta A joukoksi B. Sitten jokaiselle x ϵ A: lle symboli ƒ (x) merkitsee joukon B ainutkertaista arvoa, joka vastaa x: tä. Sitä kutsutaan x: n kuvaksi under: n alla. Siksi suhde ƒ A: sta B: hen on funktio, vain ja vain, jos jokaiselle x ϵ A: lle ja y ϵ A: lle, jos x = y, sitten ƒ (x) = ƒ (y). Joukkoa A kutsutaan funktion the toimialueeksi, ja se on joukko, jossa funktio on määritelty.
Mikä on eksponentiaalinen funktio?
Eksponenttifunktio on funktio, jonka antaa ƒ (x) = e x, missä e = lim (1 + 1 / n) n (≈ 2,718…) ja on transsendenttinen irrationaaliluku. Yksi funktion erikoisuuksista on se, että funktion derivaatti on yhtä suuri kuin itse; ts. kun y = e x, dy / dx = e x. Toiminto on myös kaikkialla jatkuva kasvava funktio, jolla on x-akseli asymptoottina. Siksi toiminto on myös yksi yhteen. Jokaiselle x ϵ R: lle on e x > 0, ja voidaan osoittaa, että se on R +: lla. Lisäksi se seuraa perusidentiteettiä e x + y = e x.e y ja e 0= 1. Funktio voidaan esittää myös käyttämällä sarjalaajennusta, jonka antaa 1 + x / 1! + X 2 /2! + X 3 /3! +… + X n / n! +…
Mikä on logaritmifunktio?
Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteinen. Koska eksponenttifunktio on yksi yhteen ja R +: n päälle, funktio g voidaan määrittää positiivisten reaalilukujen joukosta reaalilukujoukkoon, jonka g (y) = x antaa, vain ja vain, y = e x. Tätä funktiota g kutsutaan logaritmiseksi funktioksi tai yleisimmin luonnolliseksi logaritmiksi. Sitä merkitään g (x) = log e x = ln x. Koska se on eksponenttifunktion käänteinen, jos otamme eksponentiaalisen funktion kuvaajan heijastuksen viivan y = x yli, meillä on logaritmisen funktion kaavio. Siten funktio on asymptoottinen y-akselille.
Logaritmifunktio noudattaa joitain perussääntöjä, joista tärkeimmät ovat ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y ja ln xy = y ln x. Tämä on myös kasvava toiminto, ja se on jatkuva kaikkialla. Siksi se on myös yksi yhteen. Voidaan osoittaa, että se on R: llä.
Mitä eroa on eksponentiaalifunktion ja logaritmifunktion välillä?
• Eksponenttifunktion antaa by (x) = e x, kun taas logaritmisen funktion antaa g (x) = ln x, ja edellinen on jälkimmäisen käänteinen.
• Eksponentiaalisen funktion toimialue on joukko reaalilukuja, mutta logaritmisen funktion toimialue on joukko positiivisia reaalilukuja.
• Eksponentiaalisen funktion alue on joukko positiivisia reaalilukuja, mutta logaritmisen funktion alue on joukko reaalilukuja.
