Assosiatiivinen vs. kommutatiivinen
Jokapäiväisessä elämässämme meidän on käytettävä numeroita aina, kun meidän on saatava mitta jotain. Ruokakaupassa, huoltoasemalla ja jopa keittiössä meidän on lisättävä, vähennettävä ja kerrottava kaksi tai useampia määriä. Käytännössämme suoritamme nämä laskelmat melko vaivattomasti. Emme koskaan huomaa tai kyseenalaista, miksi teemme näitä toimintoja tällä erityisellä tavalla. Tai miksi näitä laskelmia ei voida tehdä eri tavalla. Vastaus on piilotettu näiden toimintojen määrittelyssä algebran matemaattisessa kentässä.
Algebrassa operaatio, johon sisältyy kaksi suuruutta (kuten lisäys), määritellään binääriseksi operaatioksi. Tarkemmin sanottuna kyseessä on joukon kahden elementin välinen operaatio ja näitä elementtejä kutsutaan operandiksi. Monet matematiikan operaatiot, mukaan lukien aiemmin mainitut aritmeettiset operaatiot ja joukko-teoriaan, lineaariseen algebraan ja matemaattiseen logiikkaan liittyvät toiminnot, voidaan määritellä binäärisiksi operaatioiksi.
Tiettyyn binäärioperaatioon liittyy joukko sääntöjä. Assosiatiiviset ja kommutatiiviset ominaisuudet ovat binääritoimintojen kaksi perusominaisuutta.
Lisätietoja kommutatiivisesta omaisuudesta
Oletetaan, että elementeille A ja B suoritetaan jokin binäärioperaatio, jota merkitään symbolilla ⊗. Jos operandien järjestys ei vaikuta operaation tulokseen, operaation sanotaan olevan kommutatiivinen. ts. jos A ⊗ B = B ⊗ A, operaatio on kommutatiivinen.
Aritmeettisten operaatioiden summaaminen ja kertolasku ovat kommutatiivisia. Yhdistettyjen tai kerrottavien numeroiden järjestys ei vaikuta lopulliseen vastaukseen:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Mutta jaon tapauksessa järjestyksen muutos antaa toisen vastavuoroisuuden ja vähennyslaskussa muutos antaa toisen negatiivisen. Siksi, A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 ja 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 ja 5 ÷ 4 = 1,25 [tässä tapauksessa A, B ≠ 1 ja 0]
Itse asiassa vähennyksen sanotaan olevan kommutatiivista; missä A - B = - (B - A).
Myös loogiset liitännät, konjunktio, disjunktio, implikaatio ja ekvivalenssi ovat myös kommutatiivisia. Totuusfunktiot ovat myös kommutatiivisia. Asetettu toimintayhdistelmä ja risteys ovat kommutatiivisia. Vektorien additio ja skalaarinen tulo ovat myös kommutatiivisia.
Mutta vektorien vähennys ja vektorituote eivät ole kommutatiivisia (kahden vektorin vektorituote on antikomutatiivista). Matriisilisäys on kommutatiivinen, mutta kertolasku ja vähennyslasku eivät ole kommutatiivisia. (Kahden matriisin kertominen voi olla kommutatiivista erikoistapauksissa, kuten matriisin ja sen käänteisen tai identiteettimatriisin kertominen; mutta matriisit eivät ehdottomasti ole kommutatiivisia, jos matriisit eivät ole samankokoisia)
Lisätietoja assosiatiivisesta omaisuudesta
Binaaritoiminnon sanotaan olevan assosiatiivinen, jos suoritusjärjestys ei vaikuta tulokseen, kun operaattorilla on kaksi tai useampia esiintymiä. Tarkastellaan elementtejä A, B ja C sekä binääritoimintoa ⊗. Operaation ⊗ sanotaan olevan assosiatiivinen jos
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Aritmeettisista perusfunktioista vain yhteenlasku ja kertolasku ovat assosiatiivisia.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Vähennys ja jakaminen eivät ole assosiatiivisia;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C 4 - (5-3) = 2 ja (5-4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 ja (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Loogiset liitännät disjunktio, yhdistelmä ja ekvivalenssi ovat assosiatiivisia, samoin kuin asetettu operaatiounioni ja risteys. Matriisi ja vektorilisäys ovat assosiatiivisia. Vektorien skalaarinen tulo on assosiatiivinen, mutta vektorituote ei ole. Matriisikertaus on assosiatiivinen vain erityisolosuhteissa.
Mitä eroa on kommutatiivisen ja assosiatiivisen omaisuuden välillä?
• Sekä assosiatiivinen ominaisuus että kommutatiivinen ominaisuus ovat binaaritoimintojen erityisominaisuuksia, ja jotkut tyydyttävät ne ja toiset eivät.
• Nämä ominaisuudet voidaan nähdä monissa algebrallisissa operaatioissa ja muissa matemaattisissa binäärisissä operaatioissa, kuten joukko-teorian leikkaus ja yhdistäminen tai loogiset liitännät.
• Kommutatiivisen ja assosiatiivisen eron välillä on se, että kommutatiivisen ominaisuuden mukaan elementtien järjestys ei muuta lopputulosta, kun taas assosiatiivinen ominaisuus toteaa, että operaation järjestys ei vaikuta lopulliseen vastaukseen.
