Eriyttäminen vs johdannainen
Diferentiaalilaskennassa derivaatti ja erilaistuminen liittyvät läheisesti toisiinsa, mutta ovat hyvin erilaisia, ja niitä käytetään kuvaamaan kahta tärkeää funktioihin liittyvää matemaattista käsitettä.
Mikä on johdannainen?
Funktion johdannainen mittaa nopeutta, jolla funktion arvo muuttuu sen tulon muuttuessa. Monimuuttujafunktioissa funktion arvon muutos riippuu riippumattomien muuttujien arvojen muutoksen suunnasta. Siksi tällaisissa tapauksissa valitaan tietty suunta ja toiminto erotetaan kyseisessä suunnassa. Tätä johdannaista kutsutaan suuntajohdannaiseksi. Osittaiset johdannaiset ovat erityinen suuntajohdannainen.
Vektoriarvoisen funktion f johdannainen voidaan määritellä rajaksi
missä tahansa sitä olemassa lopullisesti. Kuten aiemmin mainittiin, tämä antaa meille funktion f kasvunopeuden vektorin u suunnassa. Yksiarvoisen funktion tapauksessa tämä supistuu johdannaisen hyvin tunnettuun määritelmään,
Esimerkiksi
on kaikkialla erotettavissa, ja johdannainen on yhtä suuri kuin raja
joka on yhtä suuri kuin
. Sellaisten toimintojen johdannaiset, joita
on kaikkialla. Ne vastaavat toimintoja
Tätä kutsutaan ensimmäiseksi johdannaiseksi. Tavallisesti funktion f ensimmäinen johdannainen merkitään f (1). Nyt tätä merkintää käyttämällä on mahdollista määritellä korkeamman asteen johdannaiset.
on toisen asteen suuntaava johdannainen ja joka merkitsee n : tä johdannaista f (n): llä kullekin n: lle
määrittää n: nnen johdannaisen.
Mikä on erilaistuminen?
Eriyttäminen on prosessi, jolla löydetään eriteltävän funktion derivaatti. D-operaattori, jota merkitään D: llä, edustaa erilaistumista joissakin yhteyksissä. Jos x on riippumaton muuttuja, niin D ≡ d / dx. D-operaattori on lineaarinen operaattori, ts. Kahdelle erilaistuvalle funktiolle f ja g ja vakio c seuraavien ominaisuuksien mukaan.
I. D (f + g) = D (f) + D (g)
II. D (cf) = cD (f)
D-operaattoria käyttämällä muut erilaistumiseen liittyvät säännöt voidaan ilmaista seuraavasti. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (f / g) = [D (f) g - f D (g)] / g 2 ja D (sumu) = (D (f) og) D (g).
Esimerkiksi kun F (x) = x 2 sin x erotetaan x: n suhteen annettujen sääntöjen mukaisesti, vastaus on 2 x sin x + x 2 cos x.
Mitä eroa on erilaistamisella ja johdannaisella?
• Johdannaisella tarkoitetaan funktion muutosnopeutta
• Eriyttäminen on funktion derivaatin etsiminen.
