Johdannainen vs differentiaali
Differentiaalilaskennassa funktion derivaatti ja differentiaali liittyvät läheisesti toisiinsa, mutta niillä on hyvin erilaiset merkitykset, ja niitä käytetään edustamaan kahta tärkeää erilaistuvaan funktioon liittyvää matemaattista objektia.
Mikä on johdannainen?
Funktion johdannainen mittaa nopeutta, jolla funktion arvo muuttuu sen tulon muuttuessa. Monimuuttujafunktioissa funktion arvon muutos riippuu riippumattomien muuttujien arvojen muutoksen suunnasta. Siksi tällaisissa tapauksissa valitaan tietty suunta ja toiminto erotetaan kyseisessä suunnassa. Tätä johdannaista kutsutaan suuntajohdannaiseksi. Osittaiset johdannaiset ovat erityinen suuntajohdannainen.
Vektoriarvoisen funktion f johdannainen voidaan määritellä rajaksi
missä tahansa sitä olemassa lopullisesti. Kuten aiemmin mainittiin, tämä antaa meille funktion f kasvunopeuden vektorin u suunnassa. Yksiarvoisen funktion tapauksessa tämä supistuu johdannaisen hyvin tunnettuun määritelmään,
Esimerkiksi
on kaikkialla erotettavissa, ja johdannainen on yhtä suuri kuin raja
joka on yhtä suuri kuin
. Sellaisten toimintojen johdannaiset, joita
on kaikkialla. Ne vastaavat toimintoja
Tätä kutsutaan ensimmäiseksi johdannaiseksi. Tavallisesti funktion f ensimmäinen johdannainen merkitään f (1). Nyt tätä merkintää käyttämällä on mahdollista määritellä korkeamman asteen johdannaiset.
on toisen asteen suuntaava johdannainen ja joka merkitsee n : tä johdannaista f (n): llä kullekin n: lle
määrittää n: nnen johdannaisen.
Mikä on ero?
Funktion differentiaali edustaa funktion muutosta suhteessa riippumattoman muuttujan tai muuttujien muutoksiin. Tavalliseen merkintätapa, tietyn toiminnon f yhden muuttujan x, yhteensä ero tilauksen 1 DF annetaan,
. Tämä tarkoittaa, että äärettömän pienessä muutoksessa x: ssä (ts. Dx) f: ssä tapahtuu af (1) (x) dx -muutos.
Rajojen käyttäminen voi johtaa tähän määritelmään seuraavasti. Oletetaan, että ∆ x on muutos x: ssä mielivaltaisessa pisteessä x ja ∆ f on vastaava muutos funktiossa f. Voidaan osoittaa, että ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, missä ϵ on virhe. Raja ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (käyttäen aiemmin ilmoitettua johdannaisen määritelmää) ja siten, ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Siksi on mahdollista Johtopäätöksenä on, että ∆ x → 0 ϵ = 0. Nyt, kun merkitään ∆ x → 0 ∆ f df: ksi ja ∆ x → 0 ∆ x dx: ksi, erotuksen määritelmä saadaan tiukasti.
Esimerkiksi funktion ero
on
Kahden tai useamman muuttujan funktioiden tapauksessa funktion kokonaisero määritellään kunkin itsenäisen muuttujan suuntien erojen summana. Matemaattisesti se voidaan sanoa
Mitä eroa on johdannaisella ja differentiaalilla?
• Johdannainen viittaa funktion muutosnopeuteen, kun taas ero viittaa funktion todelliseen muutokseen, kun itsenäinen muuttuja muuttuu.
• Johdannaisen antaa
mutta eron antaa
