Lineaariset vs. epälineaariset differentiaaliyhtälöt
Yhtälö, joka sisältää ainakin yhden tuntemattoman muuttujan differentiaalikertoimen tai johdannaisen, tunnetaan differentiaaliyhtälönä. Eriyhtälö voi olla joko lineaarinen tai epälineaarinen. Tämän artikkelin tarkoituksena on selittää, mikä on lineaarinen differentiaaliyhtälö, mikä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö ja mikä on ero lineaarisen ja epälineaarisen differentiaaliyhtälön välillä.
Sen jälkeen kun matemaatikot, kuten Newton ja Leibnitz, ovat kehittäneet laskennan 1700-luvulla, differentiaaliyhtälöllä on ollut tärkeä rooli matematiikan tarinassa. Differential yhtälöillä on suuri merkitys matematiikassa sovellusalueensa vuoksi. Eriyhtälöt ovat jokaisen kehittämämme mallin ytimessä selittääksemme kaikki skenaariot tai tapahtumat maailmassa, olivatpa ne sitten fysiikkaa, tekniikkaa, kemiaa, tilastoja, taloudellisia analyyseja tai biologiaa (luettelo on loputon). Itse asiassa, kunnes laskennasta tuli vakiintunut teoria, asianmukaisia matemaattisia työkaluja ei ollut käytettävissä luonnossa olevien mielenkiintoisten ongelmien analysointiin.
Laskennan tietystä sovelluksesta saadut yhtälöt voivat olla hyvin monimutkaisia ja toisinaan niitä ei voida ratkaista. On kuitenkin sellaisia, jotka voimme ratkaista, mutta voivat näyttää samanlaisilta ja hämmentäviltä. Siksi helpompaa tunnistamista varten differentiaaliyhtälöt luokitellaan niiden matemaattisen käyttäytymisen mukaan. Lineaarinen ja epälineaarinen on yksi tällainen luokittelu. On tärkeää tunnistaa ero lineaaristen ja epälineaaristen differentiaaliyhtälöiden välillä.
Mikä on lineaarinen differentiaaliyhtälö?
Oletetaan, että f: X → Y ja f (x) = y, differentiaaliyhtälö ilman tuntemattoman funktion y ja sen johdannaisten epälineaarisia termejä kutsutaan lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi.
Se asettaa ehdon, että y: llä ei voi olla korkeampia indeksitermejä, kuten y 2, y 3, ja johdannaisten moninkertaisia arvoja, kuten
Se ei myöskään voi sisältää epälineaarisia termejä, kuten Sin y, e y ^ -2 tai ln y. Se on muotoa,
missä y ja g ovat x: n funktioita. Yhtälö on järjestyksen n differentiaaliyhtälö, joka on korkeimman asteen johdannaisen indeksi.
Lineaarisessa differentiaaliyhtälössä differentiaalioperaattori on lineaarinen operaattori ja ratkaisut muodostavat vektoritilan. Ratkaisuryhmän lineaarisen luonteen seurauksena ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä on myös ratkaisu differentiaaliyhtälöön. Toisin sanoen, jos y 1 ja y 2 ovat differentiaaliyhtälön ratkaisuja, niin myös C 1 y 1 + C 2 y 2 on ratkaisu.
Yhtälön lineaarisuus on vain yksi luokituksen parametri, ja se voidaan edelleen luokitella homogeenisiksi tai ei-homogeenisiksi ja tavallisiksi tai osittaisiksi differentiaaliyhtäleiksi. Jos funktio on g = 0, yhtälö on lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälö. Jos f on kahden tai useamman itsenäisen muuttujan (f: X, T → Y) ja f (x, t) = y funktio, yhtälö on lineaarinen osittainen differentiaaliyhtälö.
Differenciályhtälön ratkaisumenetelmä riippuu differentiaaliyhtälön tyypistä ja kertoimista. Helpoin tapaus syntyy, kun kertoimet ovat vakioita. Klassinen esimerkki tästä tapauksesta on Newtonin toinen liikelaki ja sen erilaiset sovellukset. Newtonin toinen laki tuottaa toisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön vakiokertoimilla.
Mikä on epälineaarinen differentiaaliyhtälö?
Epälineaarisia termejä sisältävät yhtälöt tunnetaan epälineaarisina differentiaaliyhtälöinä.
Kaikki yllä olevat ovat epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä on vaikea ratkaista, joten oikean ratkaisun saaminen edellyttää tarkkaa tutkimusta. Osittaisten differentiaaliyhtälöiden tapauksessa useimmilla yhtälöillä ei ole yleistä ratkaisua. Siksi kutakin yhtälöä on käsiteltävä itsenäisesti.
Navier-Stokes-yhtälö ja Eulerin yhtälö nestedynamiikassa, Einsteinin yleisen suhteellisuusteollisuuden kenttäyhtälöt ovat hyvin tunnettuja epälineaarisia osittaisia differentiaaliyhtälöitä. Joskus Lagrange-yhtälön soveltaminen muuttuvaan järjestelmään voi johtaa epälineaaristen osittaisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmään.
Mikä on ero lineaaristen ja epälineaaristen differentiaaliyhtälöiden välillä?
• Differentiaalikaava, jolla on vain tuntemattoman tai riippuvan muuttujan ja sen johdannaisten lineaariset termit, tunnetaan lineaarisena differentiaaliyhtälönä. Sillä ei ole termiä, jonka riippuvan muuttujan indeksi on suurempi kuin 1, eikä se sisällä yhtään sen johdannaista. Sillä ei voi olla epälineaarisia toimintoja, kuten trigonometrisiä funktioita, eksponentiaalifunktioita ja logaritmisia funktioita riippuvaisen muuttujan suhteen. Mikä tahansa differentiaaliyhtälö, joka sisältää yllä mainitut termit, on epälineaarinen differentiaaliyhtälö.
• Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisut luovat vektoritilan ja differentiaalioperaattori on myös lineaarinen operaattori vektoriavaruudessa.
• Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisut ovat suhteellisen helpompia ja yleisiä ratkaisuja on olemassa. Epälineaarisille yhtälöille useimmissa tapauksissa yleistä ratkaisua ei ole ja ratkaisu voi olla ongelmakohtainen. Tämä tekee ratkaisusta paljon vaikeampaa kuin lineaariset yhtälöt.
