Hyperbola vs Ellipse
Kun kartio leikataan eri kulmista, kartion reuna merkitsee erilaisia käyriä. Näitä käyriä kutsutaan usein kartioleikkauksiksi. Kartioleikkaus on käyrä, joka saadaan leikkaamalla oikea pyöreä kartiomainen pinta tasopinnan kanssa. Eri leikkauskulmissa annetaan erilaisia kartioleikkauksia.
Sekä hyperboli että ellipsi ovat kartioleikkauksia, ja niiden eroja voidaan helposti verrata tässä yhteydessä.
Lisätietoja Ellipsestä
Kun kartiopinnan ja tasopinnan leikkauspiste tuottaa suljetun käyrän, se tunnetaan ellipsinä. Sen epäkeskisyys on nollan ja yhden välillä (0
Pisteiden läpi kulkeva viivasegmentti tunnetaan pääakselina, ja pääakseliin kohtisuorassa oleva ja ellipsin keskipisteen läpi kulkeva akseli tunnetaan ala-akselina. Kunkin akselin halkaisijat tunnetaan poikittaishalkaisijana ja vastaavasti konjugaatin halkaisijana. Puolet pääakselista tunnetaan puoli-suuriakselina ja puoli sivuakselista puoli-ala-akselina.
Jokainen piste F 1 ja F 2 tunnetaan pesäkkeitä ellipsin ja pituudet F 1 + PF 2 = 2a, jossa P on mielivaltainen piste ellipsin. Epäkeskisyys e määritellään suhteena etäisyydestä tarkennuksesta mielivaltaiseen pisteeseen (PF 2) ja kohtisuoran etäisyyden mielivaltaiseen pisteeseen suorasta (PD). Se on myös yhtä suuri kuin kahden polttopisteen ja puoli-pääakselin välinen etäisyys: e = PF / PD = f / a
Ellipsin yleinen yhtälö, kun puoli-iso-akseli ja puoli-pieni-akseli osuvat yhteen suorakulmaisten akselien kanssa, annetaan seuraavasti.
x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1
Ellipsin geometrialla on monia sovelluksia, erityisesti fysiikassa. Aurinkokunnan planeettojen kiertoradat ovat elliptiset ja aurinko yhtenä painopisteenä. Antennien ja akustisten laitteiden heijastimet on valmistettu elliptisen muotoisiksi hyödyntääkseen sitä, että kaikki kohdistusemissiomuodot lähestyvät toista tarkennusta.
Lisätietoja Hyperbolasta
Hyperbola on myös kartiomainen osa, mutta se on avoin. Termillä hyperboli viitataan kuvassa esitettyihin kahteen irrotettuun käyrään. Hyperbolan kädet tai oksat eivät sulkeudu kuin ellipsi, vaan ne jatkuvat äärettömyyteen.
Pisteitä, joissa kahdella haaralla on lyhyin etäisyys, kutsutaan pisteiksi. Pisteiden läpi kulkevaa viivaa pidetään pää- tai poikittaisakselina, ja se on yksi hyperbolan pääakseleista. Parabolan kaksi polttoa ovat myös pääakselilla. Kahden kärkipisteen välisen viivan keskipiste on keskikohta ja viivasegmentin pituus on puoli-akseli. Puoli-suuriakselin kohtisuora puolikkaat ovat toinen pääakseli, ja hyperbolan kaksi käyrää ovat symmetrisiä tämän akselin ympäri. Parabolin epäkeskisyys on suurempi kuin yksi; e> 1.
Jos pääakselit yhtyvät suorakulmaisten akselien kanssa, hyperbolan yleinen yhtälö on seuraavanlainen:
x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1, missä a on puolisuuri akseli ja b on etäisyys keskipisteestä kumpaankin tarkennukseen.
Hyperbolat, joiden päät ovat auki x-akselia kohti, tunnetaan itä-länsi-hyperboloina. Samanlaisia hyperboloja voidaan saada myös y-akselilta. Nämä tunnetaan y-akselin hyperboloina. Tällaisten hyperbolojen yhtälö on muoto
y 2 / a 2 - x 2 / b 2 = 1
Mitä eroa on hyperbolalla ja ellipsillä?
• Sekä ellipsit että hyperboli ovat kartioleikkauksia, mutta ellipsi on suljettu käyrä, kun taas hyperboli koostuu kahdesta avoimesta käyrästä.
• Siksi ellipsillä on äärellinen kehä, mutta hyperbolalla on ääretön pituus.
• Molemmat ovat symmetrisiä pää- ja sivuakselinsa ympäri, mutta suoraelementin sijainti on erilainen kussakin tapauksessa. Ellipsissä se on puoli-suuriakselin ulkopuolella, kun taas hyperbolassa se on puoli-suuriakselilla.
• Kahden kartion osan epäkeskisyydet ovat erilaiset.
0
e Hyperboli > 0
• Kahden käyrän yleinen yhtälö näyttää samalta, mutta ne ovat erilaisia.
• Suuriakselin kohtisuora puolittaja leikkaa käyrän ellipsissä, mutta ei hyperbolassa.
(Kuvalähde: Wikipedia)
