Ero Integraation Ja Summan Välillä

2024 Kirjoittaja: Mildred Bawerman | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2023-12-16 08:38

Integraatio vs. yhteenveto

Yläpuolella olevan lukion matematiikassa integraatio ja yhteenveto löytyvät usein matemaattisista operaatioista. Näitä käytetään näennäisesti erilaisina työkaluina ja erilaisissa tilanteissa, mutta heillä on hyvin läheinen suhde.

Lisätietoja summauksesta

Summaus on numerosarjan lisäämisen operaatio, ja operaatio on usein merkitty kreikkalaisella isolla sigma Σ -kirjaimella. Sitä käytetään lyhentämään summausta ja yhtä suurta kuin sekvenssin summa / summa. Niitä käytetään usein edustamaan sarjoja, jotka ovat olennaisilta osin loputtomia yhteenvetoja. Niitä voidaan käyttää myös osoittamaan vektorien, matriisien tai polynomien summa.

Yhteenveto tehdään yleensä arvoalueelle, jota voidaan edustaa yleisellä termillä, kuten sarjalla, jolla on yhteinen termi. Summauksen alkupiste ja loppupiste tunnetaan vastaavasti summan alarajana ja loppupisteenä.

Esimerkiksi sekvenssin a ₁, ₂, ₃, ₄,…, a _{n summa} on ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n, joka voidaan helposti esittää käyttämällä summausmerkintää as ⁿ _{i = 1} a _i; i: tä kutsutaan summausindeksiksi.

Sovellukseen perustuvassa summauksessa käytetään monia muunnelmia. Joissakin tapauksissa yläraja ja alaraja voidaan antaa aikavälinä tai _alueena, kuten ∑ _1≤i≤100 a _i ja ∑ _{i∑ [1100]} a _i. Tai se voidaan antaa _joukkoina kuten ∑ _i∈P a _i, missä P on määritelty joukko.

Joissakin tapauksissa voidaan käyttää kahta tai useampaa sigmamerkkiä, mutta ne voidaan yleistää seuraavasti; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Lisäksi summaus noudattaa monia algebrallisia sääntöjä. Koska upotettu operaatio on lisäys, monia algebran yleisiä sääntöjä voidaan soveltaa itse summaan ja summauksen kuvaamiin yksittäisiin termeihin.

Lisätietoja integraatiosta

Integraatio määritellään päinvastaiseksi erilaistumisprosessiksi. Mutta geometrisessa näkymässään sitä voidaan pitää myös funktion ja akselin käyrän ympäröimänä alueena. Siksi pinta-alan laskeminen antaa määritetyn integraalin arvon, kuten kaaviossa esitetään.

Kuvalähde:

Määritetyn integraalin arvo on itse asiassa käyrän ja akselin sisällä olevien pienten nauhojen summa. Kunkin nauhan pinta-ala on korkeus × leveys tarkasteltavan akselin pisteessä. Leveys on arvo, jonka voimme valita, sanotaan ∆x. Ja korkeus on suunnilleen funktion arvo tarkastellussa pisteessä, sanotaan f (x _i). Kaaviosta on ilmeistä, että mitä pienemmät nauhat ovat parempia, ne sopivat paremmin rajatun alueen sisälle, joten arvo on paremmin arvioitu.

Joten yleensä määritelty integraali I pisteiden a ja b välillä (ts. Aikavälillä [a, b], jossa a1) ∆x + f (x ₂) ∆x + ⋯ + f (x _n) ∆x, missä n on nauhojen lukumäärä (n = (ba) / ∆x). Tämä alueen yhteenveto voidaan helposti esittää käyttämällä summausmerkintää, kun I ≅ ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Koska likiarvo on parempi, kun ∆x on pienempi, voimme laskea arvon, kun ∆x → 0. Siksi on järkevää sanoa I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Yllä olevasta käsitteestä voidaan yleistää, että voimme valita thex: n i: n indeksoiman tarkastellun aikavälin perusteella (alueen leveyden valinta sijainnin perusteella). Sitten saamme

I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x _i = _a ∫ ^b f (x) dx

Tätä kutsutaan funktion f (x) Reimann-integraaliksi aikavälillä [a, b]. Tässä tapauksessa a ja b tunnetaan integraalin ylä- ja alarajana. Reimann-integraali on kaikkien integraatiomenetelmien perusmuoto.

Pohjimmiltaan integraatio on alueen summa, kun suorakulmion leveys on äärettömän pieni.

Mitä eroa on integraatiossa ja summauksessa?

• Summaus on numerosarjan summaaminen. Yleensä yhteenveto annetaan tässä muodossa ∑ ⁿ _{i = 1} a _i, kun sekvenssin termeillä on malli ja ne voidaan ilmaista käyttämällä yleistä termiä.

• Integrointi on pohjimmiltaan funktion käyrän, akselin sekä ylä- ja alarajan rajoittama alue. Tämä alue voidaan antaa paljon pienempien alueiden summana, jotka sisältyvät rajattuun alueeseen.

• Summaus sisältää diskreettejä arvoja ylä- ja alarajojen kanssa, kun taas integrointi sisältää jatkuvia arvoja.

• Integraatio voidaan tulkita erityisenä summauksena.

• Numeerisissa laskentamenetelmissä integrointi suoritetaan aina summauksena.