Cardinal vs Ordinal
Päivittäisessä elämässämme numeroiden käyttö voi olla eri muodoissa eri tilanteissa. Esimerkiksi kun laskemme selvittääksesi kokoelman esineitä, laskemme ne yhdeksi, kahdeksi, kolmeksi ja niin edelleen. Kun haluamme laskea jotain saadaksesi käsityksen esineiden sijainnista, laskemme ne ensimmäiseksi, toiseksi, kolmanneksi ja niin edelleen. Ensimmäisessä laskentamuodossa numeroiden sanotaan olevan päälukuja. Toisessa laskentamuodossa numeroita pidetään järjestyslukuina. Tässä yhteydessä käsitteet kardinaali ja ordinaali ovat täysin kielitieteen asia; kardinaali ja järjestysnimi ovat adjektiiveja.
Käsitteen laajentaminen matematiikan joukkoihin paljastaa kuitenkin paljon syvemmän ja laajemman näkökulman, eikä sitä voida käsitellä yksinkertaisella tavalla. Tässä artikkelissa yritämme ymmärtää kardinaali- ja järjestyslukujen peruskäsitteet matematiikassa.
Sarja- ja järjestyslukujen muodolliset määritelmät annetaan joukko-teoriasta. Määritelmät ovat monimutkaisia ja niiden ymmärtäminen täydellisessä mielessä edellyttää taustatietoa joukko-teoriasta. Siksi siirrymme muutamaan esimerkkiin ymmärtääksemme käsitteet heuristisesti.
Harkitse kahta sarjaa {1,3,6,4,5,2} ja {bussi, auto, lautta, juna, lentokone, helikopteri}. Kukin joukko listaa joukon elementtejä, ja jos laskemme elementtien lukumäärän, on ilmeistä, että jokaisella on sama määrä elementtejä, mikä on 6. Tähän johtopäätökseen pääsemiseksi olemme ottaneet yhden sarjan koon ja verrattuina toiseen käyttämällä määrä. Tällaista numeroa kutsutaan kardinaaliluvuksi. Siksi voimme sanoa, että kardinaalinumero on luku, jolla voimme verrata äärellisten joukkojen kokoa.
Jälleen ensimmäinen numerosarja voidaan järjestää nousevassa järjestyksessä ottaen huomioon kunkin elementin koko ja vertaamalla niitä. Tilauksen aikana numeroita pidetään kardinaaleina. Samoin kaikkien ei-negatiivisten kokonaislukujen joukko voidaan järjestää sarjaan; eli {0,1,2,3,4,…..}. Mutta tässä tapauksessa joukon koko muuttuu loputtomaksi, eikä sen antaminen ordinaaleina ole mahdollista. Riippumatta siitä, kuinka suuren numeron valitset antamaan joukon koon, valitsemastasi joukosta jää silti lukuja, jotka eivät ole negatiivisia kokonaislukuja.
Siksi matemaatikot määrittelevät tämän äärettömän kardinaalin (joka on ensimmäinen) Aleph-0: ksi, kirjoitettuna א: ksi (heprean aakkosten ensimmäinen kirjain). Muodollisesti järjestysnumero on hyvin järjestetyn joukon järjestystyyppi. Siksi äärellisten joukkojen järjestysluku voidaan antaa kardinaalinumeroilla, mutta äärettömille joukoille järjestysnumero annetaan transfiniteilla, kuten Aleph-0.
Mitä eroa on pää- ja järjestysnumeroissa?
• Kardinaalinumero on luku, jota voidaan käyttää laskemaan tai antamaan äärellisen järjestetyn joukon koko. Kaikki kardinaalinumerot ovat tavallisia.
• Järjestysnumerot ovat numeroita, joita käytetään antamaan sekä äärellisten että loputtomasti järjestettyjen joukkojen koko. Äärellisten järjestettyjen joukkojen koko annetaan tavallisilla hindu-arabialaisilla algebrallisilla numeroilla ja ääretön joukko annetaan lopullisilla numeroilla.
