Ehdottomasti vs. määrittelemättömät integraalit
Laskenta on tärkeä matematiikan haara, ja erilaistumisella on kriittinen rooli laskennassa. Erilaistumisen käänteinen prosessi tunnetaan integraationa ja käänteinen tunnetaan integraalina tai yksinkertaisesti sanottuna erilaistamisen käänteinen antaa integraalin. Niiden tuottamien tulosten perusteella integraalit jaetaan kahteen luokkaan; selvät ja määrittelemättömät integraalit.
Lisätietoja määrittelemättömistä integraaleista
Määrittelemätön integraali on pikemminkin yleinen integraation muoto, ja se voidaan tulkita tarkastellun funktion antijohdannaiseksi. Oletetaan, että F: n erilaistuminen antaa f: n ja f: n integrointi antaa integraalin. Se kirjoitetaan usein nimellä F (x) = ∫ƒ (x) dx tai F = ∫ƒ dx, joissa sekä F että ƒ ovat x: n funktioita, ja F on erilainen. Yllä olevassa muodossa sitä kutsutaan Reimann-integraaliksi ja tuloksena oleva funktio liittyy mielivaltaiseen vakioon. Määrittelemätön integraali tuottaa usein toimintoperheen; siksi integraali on määrittelemätön.
Integraalit ja integraatioprosessi ovat differentiaaliyhtälöiden ratkaisun ytimessä. Toisin kuin eriyttäminen, integraatio ei kuitenkaan noudata aina selkeää ja vakiintunutta rutiinia; joskus ratkaisua ei voida ilmaista nimenomaisesti perustoiminnolla. Tällöin analyyttinen ratkaisu annetaan usein määrittelemättömän integraalin muodossa.
Lisätietoja Definite Integralsista
Määritellyt integraalit ovat määrittelemättömien integraalien arvostettuja vastineita, joissa integraatioprosessi tuottaa todella rajallisen määrän. Se voidaan graafisesti määritellä funktion ƒ käyrän rajoittamaksi alueeksi tietyllä aikavälillä. Aina kun integrointi suoritetaan tietyn aikavälin riippumattoman muuttujan, integrointi tuottaa selvä arvo, joka on usein kirjoitettu ∫ b ƒ (x) dx tai ∫ b ƒdx.
Määrittelemättömät integraalit ja määritellyt integraalit ovat yhteydessä toisiinsa ensimmäisen laskulauseen kautta, mikä sallii määritellyn integraalin laskemisen määrittelemättömillä integraaleilla. Lause todetaan ∫ b ƒ (x) dx = F (b) -F (a) jossa sekä F- ja ƒ ovat funktioita x, ja F on differentioituvia väli (a, b). Kun otetaan huomioon intervalli, a ja b tunnetaan vastaavasti alarajana ja ylärajana.
Sen sijaan, että pysäytettäisiin vain todellisilla funktioilla, integraatio voidaan laajentaa monimutkaisiin toimintoihin ja niitä integraaleja kutsutaan ääriviiva-integraaleiksi, joissa ƒ on kompleksimuuttujan funktio.
Mitä eroa on määriteltyjen ja määrittelemättömien integraalien välillä?
Määrittelemättömät integraalit edustavat funktion ja usein funktioperheen johdannaisen estämistä ennalta määritellyn ratkaisun sijasta. Ehdottomissa integraaleissa integraatio antaa lopullisen määrän.
Määrittelemättömät integraalit yhdistävät mielivaltaisen muuttujan (siis funktioperheen), ja tietyillä integraaleilla ei ole mielivaltaista vakiota, vaan integraation ylä- ja alaraja.
Määrittelemätön integraali antaa yleensä yleisen ratkaisun differentiaaliyhtälölle.
