Todelliset numerot vs kuvitteelliset numerot
Numerot ovat matemaattisia objekteja, joita käytetään laskemiseen ja mittaamiseen. Sen määritelmä on muuttunut vuosien varrella lisäämällä nolla, negatiiviset luvut, rationaaliluvut, irrationaaliluvut ja kuvitteelliset luvut. Vaikka numerojärjestelmien abstrakti perusta liittyy algebrallisiin rakenteisiin, kuten ryhmiin, renkaisiin ja kenttiin, tässä esitetään vain intuitiivinen idea.
Mikä on reaaliluku?
Epävirallisesti määrittelevä reaaliluku on luku, jonka neliö ei ole negatiivinen. Matemaattisessa merkinnässä merkitään reaalilukujoukko symbolilla R. Siksi kaikille x: lle, jos x ϵ R, sitten x 2 ≥ 0. Voimme tiukemmalla tavalla tuoda reaalilukujoukon ainutlaatuiseksi, täydellisesti järjestetyksi kentäksi binääritoiminnolla + ja. yhdessä järjestyssuhteen <kanssa. Tämä järjestyssuhde noudattaa trikotomilakia, jonka mukaan kahdella reaaliluvulla x ja y on yksi ja vain yksi näistä 3: sta; x> y, x <y tai x = y.
Reaaliluku voi olla joko algebrallinen tai transsendenttinen riippuen siitä, onko se polynomiyhtälön juuri kokonaislukukertoimilla vai ei. Reaaliluku voi myös olla joko rationaalinen tai irrationaalinen riippuen siitä, voidaanko se ilmaista kahden kokonaisluvun suhteena vai ei. Esimerkiksi 2,5 on reaaliluku, joka on algebrallinen ja järkevä, mutta ᴫ on sekä irrationaalinen että transsendenttinen.
Reaalilukujoukko on valmis. Se tarkoittaa, että jokaisella yllä rajoitetulla reaalilukujen alijoukolla on pienin yläraja, ja tästä voidaan päätellä, että jokaisella alla rajoitetulla reaalilukujen alijoukolla on suurin alaraja. Tämä erottaa reaalilukujoukon rationaalilukujoukosta. Voidaan väittää, että reaalilukujoukko rakennetaan täyttämällä epätäydellisten rationaalilukujen joukon aukot, aukot ovat irrationaalisia lukuja.
Mikä on kuvitteellinen luku?
Kuvitteellinen luku on luku, jonka neliö on negatiivinen. Toisin sanoen luvut kuten √ (-1), √ (-100) ja √ (- e) ovat kuvitteellisia lukuja. Kaikki kuvitteelliset luvut voidaan kirjoittaa muotoon ai, jossa i on 'kuvitteellinen yksikkö' √ (-1) ja a on nollasta poikkeava reaaliluku. (Huomaa, että i 2 = -1). Vaikka nämä luvut näyttävät olevan epätodellisia ja kuten nimestä voi päätellä, niitä ei ole, niitä käytetään monissa välttämättömissä reaalimaailman sovelluksissa esimerkiksi ilmailun, elektroniikan ja tekniikan aloilla.
Mitä eroa on reaalilukuilla ja kuvitteellisilla numeroilla?
• Reaaliluvun neliö ei ole negatiivinen, mutta kuvitteellisen luvun neliö on negatiivinen.
• Reaalilukujoukko muodostaa täydellisen täysin järjestetyn kentän, kun taas kuvitteellisten numeroiden joukko ei ole täydellinen eikä järjestetty.
