Riippuvat vs. itsenäiset tapahtumat
Jokapäiväisessä elämässämme kohtaamme tapahtumia epävarmasti. Esimerkiksi mahdollisuus voittaa ostamasi arpajaiset tai mahdollisuus saada hakemasi työpaikka. Fundamentaalista todennäköisyysteoriaa käytetään määrittämään matemaattisesti mahdollisuus tapahtua jollekin. Todennäköisyys liittyy aina satunnaisiin kokeisiin. Kokeen, jolla on useita mahdollisia tuloksia, sanotaan olevan satunnainen koe, jos minkään yksittäisen kokeen lopputulosta ei voida ennustaa etukäteen. Riippuvaiset ja riippumattomat tapahtumat ovat todennäköisyysteoriassa käytettyjä termejä.
Tapahtuman B sanotaan olevan riippumaton tapahtumasta A, jos B: n esiintymisen todennäköisyyteen ei vaikuta se, onko A tapahtunut vai ei. Kaksi tapahtumaa on yksinkertaisesti itsenäisiä, jos yhden tulos ei vaikuta toisen tapahtuman todennäköisyyteen. Toisin sanoen, B on riippumaton A: sta, jos P (B) = P (B | A). Samoin A on riippumaton B: stä, jos P (A) = P (A | B). Tässä P (A | B) tarkoittaa ehdollista todennäköisyyttä A olettaen, että B on tapahtunut. Jos harkitsemme kahden noppan heittämistä, yhdessä kuoloksessa näkyvä numero ei vaikuta siihen, mitä toisessa kuolee.
Mistä tahansa kahdesta tapahtumasta A ja B näytetilassa S; A: n ehdollinen todennäköisyys, kun otetaan huomioon, että B on tapahtunut, on P (A | B) = P (A∩B) / P (B). Joten, jos tapahtuma A on riippumaton tapahtumasta B, niin P (A) = P (A | B) tarkoittaa, että P (A∩B) = P (A) x P (B). Vastaavasti, jos P (B) = P (B | A), niin P (A∩B) = P (A) x P (B) pätee. Siksi voimme päätellä, että nämä kaksi tapahtumaa A ja B ovat riippumattomia, jos ja vain, jos ehto P (A∩B) = P (A) x P (B) pätee.
Oletetaan, että rullamme muotin ja heitämme kolikon samanaikaisesti. Tällöin kaikkien mahdollisten tulosten joukko tai näytetila on S = {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Olkoon tapahtuma A pään saamisen tapahtuma, sitten tapahtuman A, P (A) todennäköisyys on 6/12 tai 1/2, ja olkoon B tapahtuma, jos saisit kolmen kerrannaisen muottiin. Sitten P (B) = 4/12 = 1/3. Minkään näistä kahdesta tapahtumasta ei ole vaikutusta toisen tapahtuman esiintymiseen. Siksi nämä kaksi tapahtumaa ovat itsenäisiä. Koska joukko (A∩B) = {(3, H), (6, H)}, tapahtuman todennäköisyys saada päät ja kolmen kerrannaiset kuolemaan, eli P (A∩B) on 2/12 tai 1/6. Kertolasku P (A) x P (B) on yhtä suuri kuin 1/6. Koska kahdella tapahtumalla A ja B on ehto, voimme sanoa, että A ja B ovat itsenäisiä tapahtumia.
Jos tapahtuman lopputulokseen vaikuttaa toisen tapahtuman tulos, tapahtuman sanotaan olevan riippuvainen.
Oletetaan, että meillä on pussi, joka sisältää 3 punaista palloa, 2 valkoista palloa ja 2 vihreää palloa. Valkoisen pallon satunnaisen piirtämisen todennäköisyys on 2/7. Mikä on vihreän pallon piirtämisen todennäköisyys? Onko kello 2/7?
Jos olisimme piirtäneet toisen pallon ensimmäisen pallon vaihtamisen jälkeen, tämä todennäköisyys on 2/7. Jos emme kuitenkaan korvaa ensimmäistä ottamaamme palloa, meillä on vain kuusi palloa pussissa, joten vihreän pallon piirtämisen todennäköisyys on nyt 2/6 tai 1/3. Siksi toinen tapahtuma on riippuvainen, koska ensimmäisellä tapahtumalla on vaikutus toiseen tapahtumaan.
Mitä eroa on riippuvaisella tapahtumalla ja itsenäisellä tapahtumalla?
