Keskinäiset poissulkevat vs. itsenäiset tapahtumat
Ihmiset sekoittavat usein toisiaan poissulkevien tapahtumien käsitteen itsenäisiin tapahtumiin. Itse asiassa nämä ovat kaksi erilaista asiaa.
Olkoon A ja B mikä tahansa satunnaisiin kokeisiin liittyvä tapahtuma E. P (A): ta kutsutaan "A: n todennäköisyydeksi". Samoin voimme määritellä B: n todennäköisyyden P: ksi (B), A: n tai B: n todennäköisyyden P: ksi (A∪B) ja A: n ja B: n todennäköisyyden P: ksi (A∩B). Sitten P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Kaksi tapahtumaa sanotaan kuitenkin sulkevan toisensa pois, jos yhden tapahtuman esiintyminen ei vaikuta toiseen. Toisin sanoen niitä ei voi esiintyä samanaikaisesti. Siksi, jos kaksi tapahtumaa A ja B sulkevat toisiaan pois, A∩B = ∅ ja siten, tämä tarkoittaa P (A∪B) = P (A) + P (B).
Olkoon A ja B kaksi tapahtumaa näyteavaruudessa S. A: n ehdollinen todennäköisyys, kun otetaan huomioon, että B on tapahtunut, merkitään P: llä (A | B) ja se määritellään seuraavasti: P (A | B) = P (A∩B) / P (B), edellyttäen, että P (B)> 0. (muuten sitä ei ole määritelty.)
Tapahtuman A sanotaan olevan riippumaton tapahtumasta B, jos A: n esiintymisen todennäköisyyteen ei vaikuta se, onko B tapahtunut vai ei. Toisin sanoen tapahtuman B tuloksella ei ole vaikutusta tapahtuman A tulokseen. Siksi P (A | B) = P (A). Samoin B on riippumaton A: sta, jos P (B) = P (B | A). Siksi voimme päätellä, että jos A ja B ovat itsenäisiä tapahtumia, niin P (A∩B) = P (A). P (B)
Oletetaan, että numeroitu kuutio rullataan ja reilu kolikko käännetään. Olkoon A tapahtuma, jolla pään saaminen, ja B tapahtuma, joka pyörittää parillista lukua. Sitten voimme päätellä, että tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, koska toisen tulos ei vaikuta toisen lopputulokseen. Siksi P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Koska P (A∩B) ≠ 0, A ja B eivät voi sulkea toisiaan pois.
Oletetaan, että urna sisältää 7 valkoista ja 8 mustaa marmoria. Määritä tapahtuma A valkoiseksi marmoriksi ja tapahtuma B mustaksi marmoriksi. Olettaen, että jokainen marmori korvataan sen jälkeen, kun sen väri on merkitty muistiin, P (A) ja P (B) ovat aina samat, riippumatta siitä kuinka monta kertaa vedämme urnasta. Marmorien vaihtaminen tarkoittaa, että todennäköisyydet eivät muutu piirroksesta piirrokseen riippumatta siitä, minkä värin valitsimme viimeisestä arvonnasta. Siksi tapahtuma A ja B ovat riippumattomia.
Kuitenkin, jos marmorit piirrettiin korvaamatta, kaikki muuttuu. Tämän oletuksen mukaan tapahtumat A ja B eivät ole riippumattomia. Valkoisen marmorin piirtäminen ensimmäistä kertaa muuttaa mustan marmorin piirtämisen todennäköisyyksiä toisella piirroksella ja niin edelleen. Toisin sanoen jokaisella arvonnalla on vaikutus seuraavaan arvontaan, joten yksittäiset arvonnat eivät ole itsenäisiä.
Ero keskinäisesti poissulkevien ja itsenäisten tapahtumien välillä
- Tapahtumien keskinäinen yksinoikeus tarkoittaa, että joukot A ja B eivät ole päällekkäisiä. Tapahtumien riippumattomuus tarkoittaa, että A: n tapahtuminen ei vaikuta B: n tapahtumiin.
- Jos kaksi tapahtumaa A ja B sulkevat toisensa pois, niin P (A∩B) = 0.
- Jos kaksi tapahtumaa A ja B ovat riippumattomia, niin P (A∩B) = P (A). P (B)
