Riemann Integral vs Lebesgue Integral
Integraatio on pääaihe laskennassa. Broder-mielessä integraatio voidaan nähdä päinvastaisena erilaistumisprosessina. Reaalimaailman ongelmia mallinnettaessa on helppo kirjoittaa lausekkeita, joihin liittyy johdannaisia. Tällaisessa tilanteessa tarvitaan integraatiooperaatio funktion löytämiseksi, joka antoi tietyn johdannaisen.
Toisesta näkökulmasta integraatio on prosessi, joka tiivistää funktion ƒ (x) ja δx tulon, jossa δx on yleensä tietty raja. Siksi käytämme integraatiosymbolia ∫. Symboli ∫ on itse asiassa se, mitä saamme venyttämällä kirjainta s viittaamaan summaan.
Riemann Integral
Tarkastellaan funktiota y = ƒ (x). Y: n a: n ja b: n välinen integraali, jossa a ja b kuuluvat joukkoon x, kirjoitetaan muodossa b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Tätä kutsutaan a: n ja b: n välisen yksittäisen arvon ja jatkuvan funktion y = ƒ (x) määritetyksi integraaliksi. Tämä antaa käyrän alla olevan alueen a: n ja b: n välillä. Tätä kutsutaan myös Riemannin integraaliksi. Riemannin integraalin loi Bernhard Riemann. Jatkuvan funktion Riemann-integraali perustuu Jordan-mittaukseen, joten se määritellään myös funktion Riemann-summien rajaksi. Suljetulla aikavälillä määritetylle reaaliarvotulle funktiolle funktion Riemann-integraali osioon x 1, x 2,…, x n nähdenmääritetään aikavälillä [a, b] ja t 1, t 2,…, t n, missä x i ≤ t i ≤ x i + 1 kullekin i ε {1, 2,…, n}, Riemannin summa määritetään kuten Σ i = o - n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgue Integral
Lebesgue on toinen integraalityyppi, joka kattaa monenlaisia tapauksia kuin Riemannin integraali. Henri Lebesgue esitteli lebesgue-integraalin vuonna 1902. Legesgue-integraatiota voidaan pitää Riemannin integraation yleistymisenä.
Miksi meidän on tutkittava toista integraalia?
Tarkastellaan ominaisfunktiota ƒ A (x) = { 0 jos, x ei ε A 1 jos, x ε A joukossa A. Sitten ominaisfunktioiden rajallinen lineaarinen yhdistelmä, joka määritellään muodossa F (x) = Σ a i ƒ E i (x) kutsutaan yksinkertaiseksi funktioksi, jos E i on mitattava jokaiselle i: lle. F (x): n Lebesgue-integraali E: n yli on merkitty E ∫ ƒ (x) dx. Funktio F (x) ei ole Riemannin integroitava. Siksi Lebesgue-integraali muotoilee uudelleen Riemannin integraalin, jolla on joitain rajoituksia integroitaville toiminnoille.
Mitä eroa on Riemann Integral ja Lebesgue Integral välillä?
· Lebesgue-integraali on Riemannin integraalin yleistysmuoto.
· Lebesgue-integraali sallii epäjatkuvuuksien lukemattoman määrän, kun taas Riemannin integraali sallii lopullisen määrän epäjatkuvuuksia.
